SYMBOLIQUE (CALCUL)

SYMBOLIQUE (CALCUL)

Le calcul symbolique est né au XIX^e siècle d’une succession de démarches heuristiques et il a été particulièrement développé par Heaviside pour l’étude des circuits électriques.

Si l’on désigne par p la dérivation, p ² désignera naturellement la double dérivation, 1/p l’intégration (encore faut-il choisir convenablement la «constante d’intégration»). L’opérateur qui à la fonction f (t ) fait correspondre la fonction f (t 漣 a ) pourra, compte tenu de la formule de Taylor (cf. CALCUL INFINITÉSIMAL – Calcul à une variable, chap. 3), être représenté par e ^-ap . En fait tous les opérateurs représentés ainsi symboliquement ont la propriété de permuter avec les translations dans le temps. Physiquement, cela signifie que ces opérateurs sont liés à des organes linéaires invariants dans le temps: si on décale dans le temps l’action exercée sur un tel organe, sa réponse subit le même décalage. Dans la terminologie moderne, ce sont des opérateurs de convolution. Par exemple, la dérivation est la convolution par la dérivée de la mesure de Dirac.

Le calcul symbolique a été justifié sur le plan théorique grâce à l’utilisation de la transformation de Laplace. Celle-ci associe à une fonction à support positif une fonction d’une variable complexe p. Un opérateur de convolution se transforme en un opérateur de multiplication par une fonction F de la variable complexe p. Enfin, grâce à la théorie des distributions, cette fonction F peut elle-même être considérée comme la transformée de Laplace de l’élément par lequel se fait la convolution. La transformation de Laplace opérant sur des éléments (fonctions ou distributions) à support positif, c’est à l’étude des régimes transitoires que le calcul symbolique est utilisé. Pour les systèmes à temps discret, une forme analogue de calcul symbolique a été développée sous le nom de transformation en z. Parmi les aspects qui ne pourront pas être traités ici, citons l’application aux systèmes différentiels à coefficients variables, l’application à la résolution de certaines équations aux dérivées partielles, la transformation de Laplace à plusieurs variables et les aspects numériques de l’utilisation de la transformation de Laplace.

Transformation de Laplace des fonctions et des mesures

Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur l’ensemble R des nombres réels et nulle pour les valeurs strictement négatives de la variable (c’est-à-dire que f est une fonction «à support positif»). Sa transformée de Laplace est la fonction 硫f de la variable complexe p définie par la formule:

De même si 猪 est une mesure ^{[cf. INTÉGRATION ET MESURE]} sur R à support positif, c’est-à-dire telle que 猪( 﨏) = 0 pour toute fonction 﨏 nulle pour les valeurs positives de la variable, sa transformée de Laplace est la fonction 硫 猪 de la variable complexe p définie par la formule:

si 猪 est une mesure de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue, alors on a 硫 猪 = 硫f . On notera par la suite Y la fonction définie par Y(t ) = 1 si t 閭 0 et Y(t ) = 0 si t 麗 0. On voit par un calcul élémentaire que la transformée de Laplace de Y est 1/p. Plus généralement, la transformation de Laplace de f (t ) = Y(t )e size=1^凞t est 1/(p 漣).

Au lieu du symbole 硫 pour représenter la transformation de Laplace, on utilise souvent un symbole, par exemple 漣漣|, pour relier les expressions analytiques d’une fonction et de sa transformée de Laplace. On écrira par exemple:

et dans de nombreux ouvrages on sous-entend le facteur Y(t ).

En fait, la transformée de Laplace d’une mesure 猪 n’est définie que pour les valeurs de p pour lesquelles la fonction e ^-pt est intégrable par rapport à 猪. On a le résultat suivant, facile à démontrer.

Théorème 1. Il existe un nombre 﨡⁰ tel que la fonction e ^-pt soit intégrable par rapport à 猪 pour Re p 礪 﨡⁰ et non intégrable pour Re p 麗 﨡⁰, en désignant par Re p la partie réelle de p.

Le nombre 﨡⁰ est appelé abscisse d’intégrabilité. Il peut être égal à + 秊 ou à 漣 秊. Pour une fonction f , on supposera f intégrable sur tout intervalle fini, de sorte que f est la densité d’une mesure 猪. L’abscisse d’intégralibilité de 硫 猪 est appelée abscisse de convergence absolue de 硫f . Si Re p 礪 﨡⁰, l’intégrale:

est absolument convergente, et, si Re p 麗 﨡⁰, cette intégrale n’est pas absolument convergente (elle peut être divergente ou «semi-convergente»). Par exemple, si f (t ) = Y(t )e size=1^凞t , on a 﨡⁰ = Re. En fait, on a trouvé que:

c’est une fonction holomorphe pour Re p 礪 Re, et elle se prolonge de façon naturelle au plan complexe. D’une façon plus générale, on a le résultat fondamental suivant.

Théorème 2. La transformée de Laplace d’une mesure 猪 est une fonction holomorphe pour Re p 礪 﨡⁰ (abscisse d’intégrabilité). La dérivée k -ième de 硫 猪 est donnée par:

Ainsi, avec f (t ) 漣漣| F(p ), on a:

En particulier, si 猪 est à support compact, c’est-à-dire si toutes les fonctions continues sont 猪-intégrables, alors sa transformée de Laplace est une fonction entière.

Théorème 3. Avec 猪(dt ) 漣漣| F(p ), on a:

autrement dit:

Théorèmes 4, dits théorèmes de la valeur finale et de la valeur initiale. Soit f une fonction à support positif ayant pour transformée de Laplace F, on a les résultats suivants:

a ) Si f a une limite à droite pour t0, alors on a:

b ) Si f a une limite pour t+ 秊, alors l’abscisse de convergence absolue 﨡⁰ est négative ou nulle, et l’on a:

Avant de donner la propriété principale de la transformée de Laplace des mesures, rappelons la définition suivante. Si 猪 et 益 sont deux mesures sur R à support positif, alors:

est une mesure sur R à support positif, appelée le produit de convolution des mesures 猪 et 益 (c’est un cas particulier du produit de convolution de deux distributions; cf. DISTRIBUTIONS, chap. 3). Si 猪 et 益 sont de densités f et g par rapport à la mesure de Lebesgue, alors 猪 益 est de densité f g , où:

est le produit de convolution des fonctions f et g .

Théorème 5. Si 猪 益 désigne le produit de composition de deux mesures 猪 et 益 à support positif, on a:

pour les valeurs de la variable dont la partie réelle est supérieure aux deux abscisses d’intégrabilité.

Soit alors f une fonction à support positif, continûment dérivable pour t 礪 0, continue à droite pour t = 0. On a:

ce qui s’écrit aussi:

d’où:

c’est-à-dire:

Si l’on a f (0) = 0, on trouve la formule simplifiée:

ce sont les discontinuités pour t = 0 qui compliquent les formules liant les transformées de Laplace d’une fonction à celles de ses dérivées. Or, la dérivation au sens des distributions fait intervenir ces discontinuités et permet, par suite, de conserver à ces formules leur forme la plus simple. Si D désigne la dérivation au sens des distributions (cf. DISTRIBUTIONS, chap. 3), on aura:

嗀 étant la distribution de Dirac, et, par suite:

Transformation de Laplace des distributions

Soit T une distribution à support positif telle que T = D^k f , où f est une fonction pour laquelle 硫f a une abscisse de convergence absolue 﨡⁰ + 秊. On posera:

pour Rep 礪 﨡⁰.

On montre aisément la cohérence de cette définition et la compatibilité avec les définitions antérieures. On obtient en particulier 硫 嗀^{(k )}(p ) = p ^k . La généralisation aux distributions possédant la propriété indiquée des règles obtenues pour les fonctions et les mesures est aisée et donne les résultats suivants:

a ) La transformée de Laplace d’une distribution T est holomorphe dans un demi-plan Re p 礪 見, et l’on a:

b ) On a:

en particulier si l’on fait U = 嗀^{(k )}, on obtient:

c ) On a:

Le tableau 1 donne les transformées de Laplace les plus usuelles.

Relations entre la transformation de Fourier et la transformation de Laplace

Dans ce chapitre, nous utiliserons la formule suivante pour définir la transformation de Fourier d’une fonction f (cf. analyse HARMONIQUE, chap. 3):

De la formule:

supposée valable pour R ep 礪 﨡⁰ (abscisse de convergence absolue), il résulte que:

Cette formule se généralise sans difficulté aux distributions. Avec T = D^k f , où f admet une transformée de Laplace définie pour Re p 礪 﨡⁰, on aura, pour tout 﨡 礪 﨡⁰,

En particulier, si 﨡⁰ 麗 0, on aura:

La transformée de Laplace apparaît donc comme une extension convenable au plan complexe de la transformée de Fourier qui, elle, est une fonction de variable réelle. Il convient de rappeler que cette extension n’a pu se faire que moyennant l’hypothèse que l’élément auquel on applique la transformation de Laplace était à support positif. Étant donné que la transformation de Fourier est injective, il en sera de même de la transformation de Laplace. On peut même reconstituer une fonction à partir de sa transformée de Laplace supposée connue sur une verticale du plan complexe d’abscisse 﨡 礪 﨡⁰, abscisse de convergence absolue. On aura en général, compte tenu de la formule de réciprocité de la transformation de Fourier,

où l’intégrale figurant au second membre est prise dans le plan complexe sur la verticale d’abscisse 﨡. L’holomorphie de F permet de modifier le chemin d’intégration. On peut également rechercher des conditions suffisantes assurant qu’une fonction F(p ) soit la transformée de Laplace d’une distribution. On a alors le résultat simple suivant.

Théorème. Si F(p ) est holomorphe pour Re p 礪 c et vérifie |F(p )| 諒 C|p |^m , alors F est la transformée de Laplace d’une distribution. Si l’on peut prendre m = 漣 2, alors F est la transformée de Laplace d’une fonction.

Applications de la transformation de Laplace

L’application la plus répandue de la transformation de Laplace est la résolution des équations de convolution , et en particulier des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Soit l’équation de convolution a x = b , où a , b et x sont des fonctions à support positif. Si a , b , x ont des transformées de Laplace A, B, X, on aura:

c’est-à-dire:

La résolution de l’équation de convolution se ramène donc à la résolution d’une équation algébrique et à la recherche d’un élément ayant une transformée de Laplace donnée. Il est intéressant de noter que, pour les distributions à support positif, la convolution n’a pas de diviseurs de zéro. Une équation de convolution sur R⁺ ne peut donc avoir qu’une solution. Si l’usage de la transformation de Laplace fournit une solution (c’est-à-dire si a et b ont des transformées de Laplace et si B(p )/A(p ) est la transformée de Laplace d’une distribution), celle-ci est l’unique solution de l’équation.

Exemple 1. Soit à résoudre l’équation différentielle:

avec les conditions initiales:

Si l’on ne s’intéresse qu’aux valeurs de x (t ) pour t 閭 0, on peut aussi bien supposer x (t ) = 0 pour t 麗 0, à condition naturellement de supposer que le second membre est remplacé par 0 pour t 麗 0. Les conditions initiales indiquent alors des discontinuités de x (t ) et de dx /dt pour t = 0; et, pour en tenir compte, il suffit d’introduire les dérivées au sens des distributions:

L’équation différentielle se récrit alors:

c’est-à-dire:

Soit X la transformée de Laplace de x . On obtient:

d’où:

et:

Exemple 2 . Soit à résoudre l’équation:

avec x à support positif. C’est une équation de convolution a x = b , avec a (t ) = Y(t ) sin t et b (t ) = Y(t )t ². En prenant les transformées de Laplace, on obtient:

d’où l’on déduit:

Exemple 3. En automatique, tout organe linéaire invariant dans le temps établit une relation de la forme s = f e entre l’entrée e et la sortie s. Pour des raisons physiques, f est à support positif. Si S, F, E sont les transformées de Laplace de s , f , e , alors on S(p ) = F(p )E(p ), et F est appelée la fonction de transfert de l’organe. Dans le cas d’un système constitué de différents organes reliés entre eux, on obtient facilement la fonction de transfert F du système à partir de celles ¹, ², ... des différents organes. Par exemple, pour le système représenté par la figure, on a:

d’où:

Transformation en z

Soit a une suite réelle ou complexe définie sur l’ensemble N des entiers positifs ou nuls. On appelle transformée en z de cette suite la fonction de variable complexe:

Il existe R 捻 [0, + 秊] tel que cette série soit absolument convergente pour |z | 礪 R. Le produit de composition c = a b de deux suites a et b sur N est défini par:

et les transformées en z de a , b , c sont liées par la relation C(z ) = A(z )B(z ). En particulier, l’opérateur dit opérateur d’avancement E, qui associe à toute suite a la suite Ea telle que Ea (n ) = a (n 漣 1), est un opérateur de convolution:

où 嗀^k est la suite égale à 1 pour n = k et nulle ailleurs.

En posant b = Ea , on a la relation entre les transformées en z de a et b :

Le tableau 2 donne quelques transformées en z de suites simples. L’utilisation pratique de la transformation en z suppose de disposer de tables beaucoup plus importantes.

L’usage de la transformation en z permet la résolution des équations de récurrence linéaires à coefficients constants et plus généralement des équations de convolution sur N. Pour l’inversion de la transformation en z , on utilise généralement l’intégration dans le plan complexe. La transformation en z est largement utilisée pour l’étude des systèmes asservis à temps discret (souvent dénommés «échantillonés»).

Encyclopédie Universelle. 2012.